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不得不承認(rèn)，微積分是老胡遇到的最好的東西。它是一個(gè)工具，教我抽象的想法，并向我展示了一個(gè)簡(jiǎn)單的方法，使我的生活中的問(wèn)題更容易管理。正是微積分使肯尼迪所說(shuō)的“我們選擇登月”成為可能。讓阿姆斯特朗說(shuō)出：“一個(gè)人的一小步就是人類的一大步。”，讓菲利克斯·鮑姆加特納能夠說(shuō)：“我現(xiàn)在要回家了！”

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當(dāng)盧修斯·?？怂篂轵饌b設(shè)計(jì)蝙蝠衣時(shí)，也是在計(jì)算。正是這一數(shù)學(xué)分支使得人們喜愛(ài)的動(dòng)畫(huà)像人一樣行動(dòng)；正是這種計(jì)算讓母親們知道了嬰兒的性別或健康狀況；正是微積分使我們能夠在微波爐里加熱東西；它幫助人們?cè)诟叩碌貓D上到達(dá)目的地。愛(ài)因斯坦把他的方程式寫在筆記本上以改變世界，這就是微積分。它把數(shù)學(xué)、科學(xué)和社會(huì)學(xué)結(jié)合起來(lái)，幫助創(chuàng)造了我們生活的現(xiàn)代世界。這就是為什么伏爾泰把微積分稱為“精確計(jì)算一種無(wú)法想象其存在的事物的藝術(shù)”。

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• 上圖：愛(ài)因斯坦1936年發(fā)表的科學(xué)論文的附言。資料來(lái)源：匹茲堡大學(xué)。下圖：伏爾泰的《關(guān)于英國(guó)的信件》，第152頁(yè)

根據(jù)伏爾泰的觀點(diǎn)：

“這個(gè)荒謬的、陳腐的問(wèn)題在一次著名的集會(huì)上引起了騷動(dòng)，這是不久以前的事了。誰(shuí)是最偉大的人呢，卡薩爾或亞歷山大，塔默蘭或克倫威爾嗎？有人說(shuō)那一定是艾薩克·牛頓爵士。這個(gè)人當(dāng)然是對(duì)的?！?/p>

所有我們想用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)來(lái)理解的東西，我們都是通過(guò)微積分來(lái)理解的。不幸的是，大學(xué)里的老師讓微積分看起來(lái)既困難又乏味。對(duì)于許多大學(xué)一年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，微積分是一個(gè)讓他們充分享受生活的障礙。一開(kāi)始，就好像有人買了一輛有引擎問(wèn)題的新車。然而，一旦你開(kāi)始修復(fù)它，它就會(huì)變得很容易使用。

微積分是一種使不可見(jiàn)的東西變得可見(jiàn)的工具。它是好奇心和解決方案之間的聯(lián)系。換句話說(shuō)，它是回答問(wèn)題和揭示科學(xué)奧秘的最佳工具。當(dāng)數(shù)學(xué)家們致力于一個(gè)項(xiàng)目去建立一些新的東西時(shí)，他們也會(huì)受到數(shù)學(xué)的啟發(fā)。此外，將現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)世界可能需要數(shù)年時(shí)間。然而，微積分是數(shù)學(xué)中少有的源于物理學(xué)的領(lǐng)域之一。

例如，如果你把一塊磁鐵放在你的桌子上，把填滿磁鐵的鐵搖一搖，你會(huì)注意到，填滿的東西會(huì)開(kāi)始沿著不同的線排列，在磁鐵周圍形成完美的圖案。你還會(huì)看到磁場(chǎng)向各個(gè)方向延伸。今天，我們知道這種科學(xué)美是磁場(chǎng)的結(jié)果。

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• 鐵屑在紙上。下面有一塊磁鐵。

然而，大約200年前，邁克爾·法拉第并不知道這一點(diǎn)。他只是憑直覺(jué)接近這個(gè)想法，并相信由于鐵屑產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)，磁鐵周圍應(yīng)該有一種看不見(jiàn)的力量。代數(shù)、英語(yǔ)或其他語(yǔ)言不足以解釋或證明他關(guān)于磁場(chǎng)的激動(dòng)人心的想法；因此，法拉第需要使用不同的方法，如數(shù)學(xué)。雖然他是一位優(yōu)秀的物理學(xué)家，但他的數(shù)學(xué)知識(shí)不足以描述他的思想。此外，他對(duì)將要看到的東西一點(diǎn)也不知道。

在這段時(shí)間里，研究磁場(chǎng)的物理學(xué)家越來(lái)越多。蘇格蘭物理學(xué)家詹姆斯·克拉克·麥克斯韋就是其中之一。他決定走另一條路，用微積分來(lái)改進(jìn)法拉第的磁場(chǎng)研究。即便如此，麥克斯韋是如何用微積分來(lái)解釋一些與物理學(xué)有關(guān)的東西的呢？首先，他把所有關(guān)于磁場(chǎng)的知識(shí)轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)方程式。然后，麥克斯韋開(kāi)始使用微分學(xué)并得到了新的方程。他最初得到了20個(gè)方程。最后，他把它們結(jié)合起來(lái)，成功了！

麥克斯韋揭示了磁力的奧秘！他使用的語(yǔ)言只是微積分，這是他唯一的聲音。

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• 上圖 ：邁克爾·法拉第，1861 |下圖：詹姆斯·麥克斯韋傳記物理學(xué)家(1831-1879)

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• 詹姆斯·克拉克·麥克斯韋，《倫敦皇家學(xué)會(huì)哲學(xué)會(huì)刊》，1865年1月1日出版。

微積分把好奇的人召集起來(lái)，告訴他們：“如果你想了解宇宙，就利用我吧！”不久之后，尼古拉·特斯拉跟隨麥克斯韋的腳步，用麥克斯韋方程做出了第一臺(tái)收音機(jī)。愛(ài)德華·布蘭利發(fā)明了第一個(gè)真正的無(wú)線電波探測(cè)器——相干器。馬可尼在幾百英里外發(fā)送了一條無(wú)線信息。

仍然有人認(rèn)為是馬可尼發(fā)明了第一臺(tái)收音機(jī)。然而，美國(guó)最高法院裁定馬可尼的無(wú)線電專利無(wú)效，并在特斯拉死后6個(gè)月，即1943年6月21日，將無(wú)線電牌照授予特斯拉。

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• 尼古拉·特斯拉(1856 - 1943)

后來(lái)，艾倫·圖靈破解了德國(guó)的密碼，從而把二戰(zhàn)縮短了2到4年，在這期間他拯救了數(shù)百萬(wàn)人的生命。微積分的其他用途可以從發(fā)明電視的菲羅·范斯沃斯身上看到。他使20億人得以觀看1994年7月17日意大利對(duì)巴西的世界杯決賽。他讓我有機(jī)會(huì)觀看了1986年世界杯半決賽馬拉多納對(duì)陣英格蘭打進(jìn)的“世紀(jì)進(jìn)球”。

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• “ 世紀(jì)進(jìn)球”，其在馬拉多納1986年世界杯半決賽對(duì)陣英格蘭

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• 羅伯特·巴喬在1994年世界杯決賽中罰失點(diǎn)球的精彩畫(huà)面。

無(wú)論如何，我需要回到微積分。今天，Loon公司正在設(shè)計(jì)氣球，為世界各地的人們帶來(lái)免費(fèi)的無(wú)線技術(shù)。所有這些發(fā)現(xiàn)和發(fā)明一直在告訴我們關(guān)于宇宙的一些獨(dú)特的東西。順便說(shuō)一句，我并不是說(shuō)微積分讓羅伯特·巴喬錯(cuò)過(guò)了讓巴西成為1994年世界杯冠軍的點(diǎn)球。微積分讓無(wú)形變得有形。否則，我怎么能見(jiàn)證那些難忘的時(shí)刻呢?

在費(fèi)曼、麥克斯韋、特斯拉和Loon的例子中，你可能會(huì)注意到聰明人對(duì)變化感興趣。要么他們想要理解它，要么他們想要追求它。為了實(shí)現(xiàn)他們的目標(biāo)或夢(mèng)想，這些美麗的頭腦都使用了微積分。我們可以說(shuō)，微積分關(guān)注的是事物隨時(shí)間的變化。數(shù)學(xué)本身創(chuàng)造變化。

數(shù)學(xué)變化的概念出現(xiàn)于5000年前。古希臘哲學(xué)家對(duì)事物變化的概念思考得非常深刻。例如，古希臘哲學(xué)家芝諾(Zeno)是第一個(gè)提出瞬時(shí)速度概念的人。我們可能聽(tīng)過(guò)他的著名的芝諾悖論——阿基里斯和烏龜之間的賽跑——但是，他的阿羅悖論可能比其他的更重要，因?yàn)樗俏⒎e分的入門。芝諾說(shuō)飛行中的箭總是處于靜止?fàn)顟B(tài)。你可能會(huì)問(wèn)自己:“移動(dòng)的箭頭怎么可能不移動(dòng)呢?”“然而，如果我們?cè)谀莻€(gè)特定的時(shí)刻拍下太空箭的快照，它必須是靜止的。由于時(shí)間是許多實(shí)例的集合，我們可以說(shuō)箭從不移動(dòng)，因此變得自相矛盾，因?yàn)榧且苿?dòng)的。

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在芝諾之后，第一個(gè)研究微積分的人是柏拉圖的學(xué)生歐多克索斯。在此期間，幾乎每個(gè)人都能計(jì)算正方形、長(zhǎng)方形和三角形等規(guī)則形狀的面積。他們負(fù)責(zé)發(fā)展我們對(duì)形狀及其特征的理解。然而，現(xiàn)在是革命的時(shí)候了！他們需要計(jì)算一個(gè)曲面的面積，比如一個(gè)圓，但是這對(duì)他們來(lái)說(shuō)是相當(dāng)困難的。圓不可以畫(huà)線，然后分成三角形。相反，他們必須找到更復(fù)雜的東西。我們的歷史資料顯示，歐多克索斯使用了一種窮竭法，這是一種精確的計(jì)算方法。他發(fā)現(xiàn)一個(gè)圓錐體的體積是相應(yīng)圓柱體積的三分之一。

窮竭法是一種求形狀面積的方法，其方法是在一個(gè)形狀內(nèi)嵌入一系列多邊形，這些多邊形的面積收斂于包含該形狀的面積?！S基百科

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歐多克索斯之后，阿基米德接過(guò)了微積分的旗幟。阿基米德癡迷于數(shù)學(xué)，常常忘記吃飯。此外，當(dāng)他死于羅馬士兵之手時(shí)，他告訴羅馬士兵不要打擾他，因?yàn)樗谏碁┥袭?huà)一個(gè)圓圈。甚至他的墓碑上也刻著一個(gè)球體的圖形，球體被一個(gè)圓柱體包圍著，圓柱體的容積比為2:3。當(dāng)伽利略提到阿基米德時(shí)，他總是說(shuō):“超越人類的阿基米德，獨(dú)一無(wú)二的阿基米德是神圣的阿基米德?！?/p>

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• 阿基米德，由何塞·德里貝拉繪畫(huà)，1630 | 阿基米德之死，1815年

兩千兩百年前，阿基米德的癡迷于曲線。他找到了一種計(jì)算曲面物體面積和體積的方法。他把筆記抄在一張紙莎草紙上，然后把它放在一張羊皮紙上。在他的筆記被轉(zhuǎn)移之后，發(fā)生了一件非常有趣的事情。不知怎么的，700年前，一個(gè)和尚需要紙把他的祈禱寫在什么東西上，然后隨便在書(shū)架上選一本書(shū)。不幸的是，他手里拿著阿基米德的筆記，像用自己的筆記一樣使用這本書(shū)。然而，在2000年之后，數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)這本書(shū)決定繼續(xù)研究。這導(dǎo)致了阿基米德方法“方法”的面世。

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• 阿基米德重寫本| PBS里面

像任何二維形狀一樣，圓也有面積。阿基米德通過(guò)發(fā)明一種叫做“啟發(fā)式”的數(shù)學(xué)方法，來(lái)得出一個(gè)圓的面積的結(jié)論，這種方法可以加速得到一個(gè)滿意解的過(guò)程。雖然啟發(fā)式方法不能完美地從數(shù)學(xué)上證明某件事，但它是實(shí)用的，足以總結(jié)他的工作。阿基米德還進(jìn)一步發(fā)展歐多克索斯的“窮竭法”，以計(jì)算拋物線下的面積，球的表面積和體積，或證明圓的面積等于πr^2。

阿基米德求圓面積的第一個(gè)方法是如此簡(jiǎn)單，但它只能來(lái)自天才的頭腦！只有有天賦的人才能在任何情況下找到簡(jiǎn)單的方法。就像約翰·克魯伊夫說(shuō)的那樣：“足球很簡(jiǎn)單，但很難踢簡(jiǎn)單的足球。”不管怎樣，阿基米德將正多邊形內(nèi)嵌在一個(gè)圓內(nèi)，直到正多邊形有如此多的邊，以至于它們實(shí)際上變成了圓本身。這樣，多邊形的面積就越來(lái)越接近圓的準(zhǔn)確面積。然而，多邊形需要有無(wú)數(shù)條邊才能有一個(gè)與圓相同的面積。今天，我們說(shuō)在無(wú)窮大的極限下，多邊形的面積等于圓的面積，其中n代表多邊形的邊數(shù)。然而，在這一時(shí)期，希臘人并沒(méi)有完全掌握極限的概念。

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阿基米德用同樣的方法求拋物線段的面積。他把曲線形狀變成了三角形的組合。由于這種方法，斯蒂芬·斯特羅加茨教授在他的最后一本書(shū)《無(wú)限的力量：微積分如何揭示宇宙的秘密》(第37頁(yè))中稱阿基米德是第一位像畢加索那樣的立體派藝術(shù)家。

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• 《無(wú)限的力量：微積分的故事——宇宙的語(yǔ)言》作者:斯蒂文·斯特羅加茨

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• 巴勃羅·畢加索《公牛》1945年

首先，阿基米德把最大的三角形放在曲線下。然后，他把兩個(gè)較小的三角形放在左邊和右邊。當(dāng)曲線下有一點(diǎn)空間時(shí)，他試著放更多的小三角形。他能夠?qū)⑶婷娣e轉(zhuǎn)換成三角形的組合，因?yàn)樗廊绾握业皆撔螤畹拿娣e。這種方法使他認(rèn)識(shí)到一個(gè)有趣的事實(shí)，拋物線段的面積與第一個(gè)大三角形的面積之比是4/3。4/3的比例非同尋常，因?yàn)樵谝魳?lè)中，它被稱為“完美的四分之一”。

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用三角形做拋物線段是一個(gè)獨(dú)特的想法，因?yàn)樗俏⒎e分無(wú)形存在的一個(gè)非凡例子。當(dāng)我們?nèi)ル娪霸嚎措娪暗臅r(shí)候，我們看到的人物就像真人一樣，但實(shí)際上，他們是由數(shù)百萬(wàn)個(gè)規(guī)則多邊形組成的。我們只是沒(méi)有注意到這里的微積分。我們可以用三角形來(lái)表示任何光滑的表面，這已經(jīng)成為阿基米德的想法，這是微積分(微分學(xué))背后的另一種優(yōu)秀表現(xiàn)，通過(guò)直線來(lái)近似彎曲的物體。

阿基米德的第二個(gè)非凡的方法是找到一個(gè)圓的面積。在開(kāi)始的時(shí)候，找到一個(gè)圓的面積對(duì)他來(lái)說(shuō)是件頭疼的事。他需要找到不同的方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。幸運(yùn)的是，在古代，當(dāng)人們處理任何類型的問(wèn)題時(shí)，他們?cè)噲D通過(guò)將它們分解成不同的部分，以使其變得更小，以便以后單獨(dú)處理它們。因此，他們的問(wèn)題將比原來(lái)的問(wèn)題容易處理得多。然后，當(dāng)他們解決了所有小塊的問(wèn)題，他們會(huì)把答案重新組合在一起，形成一個(gè)整體。這種數(shù)學(xué)方法是人類歷史上最令人難以置信的布局之一。

為了在我們的腦海中描繪阿基米德的方法，先畫(huà)一個(gè)半徑為r的圓，然后把它切成四塊?，F(xiàn)在我們有四個(gè)相等的四分之一。順便說(shuō)一下，我們的圓的周長(zhǎng)將2πr。如果像下面的圖一樣重新排列四分之一，我們將得到一個(gè)新的形狀。此外，底部的扇形邊緣的長(zhǎng)度將為圓周的一半，即πr（π乘以r）。

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• 摘自Steven Strogatz |《推向極限》

這里我們有一個(gè)簡(jiǎn)單的想法，如果我們能計(jì)算出新形狀的面積，那么我們就會(huì)知道圓的面積。但是，我們的新形狀可能看起來(lái)更復(fù)雜，因此我們應(yīng)該嘗試使用更多切碎的碎片將圓更改為我們知道面積的形狀。

我們可以試著用8個(gè)相等的部分組成這個(gè)圓，然后重新排列它們，得到下面這個(gè)平行四邊形的更好的形式。如果我們仔細(xì)觀察，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)它正試圖變成我們認(rèn)識(shí)的形狀。寬度越來(lái)越垂直，底部的扇形邊緣越來(lái)越直。

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• 如何顯示一個(gè)圓的面積是2πr

因此，如果你直覺(jué)地接近這個(gè)想法，你會(huì)注意到我們可以用更小的部分來(lái)構(gòu)建一個(gè)圓。例如，如果我們構(gòu)建另一個(gè)有32段的圓并重復(fù)這個(gè)過(guò)程，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)圓慢慢地開(kāi)始看起來(lái)有點(diǎn)像一個(gè)矩形，這使得找到它的面積變得非常容易。

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• 圓面積計(jì)算的視覺(jué)證明

現(xiàn)在我們可以得出結(jié)論，當(dāng)我們把圓分成越來(lái)越多的小塊時(shí)，形狀就變成了長(zhǎng)方形。如果你這樣做無(wú)窮次，你會(huì)得到無(wú)窮多的碎片，形成一個(gè)完美的矩形。隨著數(shù)量的增加，形狀會(huì)變得更加精確。因此寬度的長(zhǎng)度仍然πr，邊的長(zhǎng)度相當(dāng)于圓的半徑，仍然“r。

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今天，在現(xiàn)代微積分中，我們把問(wèn)題切成無(wú)數(shù)小塊，然后把它們加在一起，就像阿基米德2200年前做的那樣。換句話說(shuō)，微積分就是讓難題變得更容易處理。

雖然幾乎所有關(guān)于微積分的教科書(shū)都有1000頁(yè)，但微積分真正想要達(dá)到的是簡(jiǎn)單。

然而，切分問(wèn)題并不是微積分的主要思想。我們不斷地進(jìn)行運(yùn)算，不管是微分運(yùn)算還是積分運(yùn)算，這可能是有史以來(lái)最關(guān)鍵的數(shù)學(xué)技術(shù)。這兩個(gè)概念都涉及到這樣一種思想：我們可以做一些無(wú)限的事情來(lái)得到一個(gè)有限的答案。由于微積分是變化的數(shù)學(xué)，根據(jù)定義，微積分必須是連續(xù)的。連續(xù)性是微積分的本質(zhì)。

積分就是求出水平軸上一條直線下的面積。例如，速度-時(shí)間圖下的面積就是實(shí)際走過(guò)的距離。積分可以通過(guò)將面積分割成無(wú)限小的矩形，然后將矩形的所有面積相加得到曲線下的準(zhǔn)確面積來(lái)實(shí)現(xiàn)。通過(guò)無(wú)限小矩形的極限，可以求出曲線下的精確面積。

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微分是關(guān)于事物移動(dòng)或變化的速度(變化率)。它被用來(lái)求速度曲線的切線。一條曲線可以看作是改變方向，運(yùn)動(dòng)可以看作是改變位置。

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這兩個(gè)概念都涉及到處理無(wú)限小或無(wú)限接近的事物。

有趣的是，在阿基米德被士兵殺死后，微積分的發(fā)展立即停止了，并停滯了1500多年。人類必須等到17世紀(jì)才能走得更遠(yuǎn)。微積分是在那個(gè)時(shí)代正式被發(fā)現(xiàn)的，它使數(shù)學(xué)家和工程師能夠真正理解我們周圍世界的運(yùn)動(dòng)和動(dòng)態(tài)變化，比如行星的軌道和流體的運(yùn)動(dòng)。在微積分發(fā)明之后，科學(xué)革命正式開(kāi)始了，這并非巧合。在這個(gè)時(shí)期，人們發(fā)現(xiàn)了許多偉大的數(shù)學(xué)思想、公式和證明。

17世紀(jì)30年代，德國(guó)數(shù)學(xué)家開(kāi)普勒、意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里和伽利略分別改進(jìn)了阿基米德的窮竭法，使其成為現(xiàn)代版本。這種技術(shù)被稱為“無(wú)限分割法”。

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• 上：伽利略伽利略|中：約翰內(nèi)斯開(kāi)普勒|下：博納文圖拉卡瓦列里

無(wú)限分割法的基本思想是通過(guò)畫(huà)無(wú)窮多條平行線，得到無(wú)窮多個(gè)矩形，直到矩形的寬度不能再細(xì)分為止，從而確定任意圖形的大小。之后，每個(gè)矩形的面積之和將等于開(kāi)始時(shí)圖形的大小。這種方法與積分法非常相似。

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在卡瓦列里之后，包括勒內(nèi)·笛卡爾、皮埃爾·德·費(fèi)馬、布萊斯·帕斯卡、艾薩克·牛頓和戈特弗里德·威廉·萊布尼茨在內(nèi)的許多數(shù)學(xué)家開(kāi)始研究微積分。這些數(shù)學(xué)家中沒(méi)有一個(gè)人知道，他們即將創(chuàng)造歷史上最不可思議的里程碑之一。然而，只有牛頓和萊布尼茨能夠完成他們的工作并發(fā)表它。這兩個(gè)天才通過(guò)向世界介紹微積分永遠(yuǎn)地改變了數(shù)學(xué)和科學(xué)。它還導(dǎo)致大學(xué)里平均多開(kāi)設(shè)了20門數(shù)學(xué)課程。學(xué)生們現(xiàn)在接觸到一個(gè)涉及數(shù)學(xué)的更加多樣化的環(huán)境。

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• 艾薩克·牛頓和戈特弗里德·威廉·萊布尼茨

在萊布尼茨和牛頓于17世紀(jì)發(fā)表了他們的發(fā)現(xiàn)之后，數(shù)學(xué)的力量得到了自希臘時(shí)代以來(lái)最顯著的增長(zhǎng)。值得慶幸的是，他們的原始著作記錄了微積分的發(fā)現(xiàn)，至今仍保存在劍橋大學(xué)圖書(shū)館，我們有機(jī)會(huì)看到他們重新發(fā)現(xiàn)微積分的數(shù)學(xué)之旅。

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• 數(shù)學(xué)寶藏：萊布尼茲關(guān)于微積分的論文

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• 牛頓論文：《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》|來(lái)源:劍橋大學(xué)數(shù)字圖書(shū)館

今天，當(dāng)我們放下手機(jī)，開(kāi)始談?wù)撘恍┪锢韱?wèn)題時(shí)，我們很可能會(huì)提到三位科學(xué)家的名字，愛(ài)因斯坦，費(fèi)曼和牛頓。既然我們提到了牛頓，我們也必須談?wù)勅R布尼茨。然而，牛頓，當(dāng)然還有萊布尼茨為未來(lái)的物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家打開(kāi)了大門。

一方面，牛頓想要解釋哥白尼、開(kāi)普勒和伽利略的天文系統(tǒng)，以描述引力是如何工作的。另一方面，萊布尼茨想把邏輯規(guī)則正式化，使數(shù)學(xué)推理系統(tǒng)化。他一生致力于使所有的推理過(guò)程機(jī)械化。牛頓和萊布尼茨在微積分的幫助下都取得了成功。

牛頓是那種什么都想知道的人。他想看到神秘事物背后的真相，并向世界各地的人們解釋它們。

一個(gè)蘋果從來(lái)沒(méi)有落在牛頓的頭上，但他想知道為什么月亮是站在天上，而不是下落。

在此之前，成千上萬(wàn)的人已經(jīng)一次又一次地看到過(guò)天上的月亮，但只有牛頓問(wèn)過(guò)為什么月亮不會(huì)落到地球上。這個(gè)問(wèn)題對(duì)他來(lái)說(shuō)是個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，也是全人類的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。它會(huì)促使他去發(fā)現(xiàn)許多他熱衷的事情，在某種程度上，它甚至讓他著迷。例如，當(dāng)他癡迷于煉金術(shù)時(shí)，他對(duì)把鉛變成金子不感興趣。

他還癡迷于重力。當(dāng)他意識(shí)到重力的存在時(shí)，他想要計(jì)算出在任何給定時(shí)間下落物體的速度。他知道，如果你讓一個(gè)物體下落，它的速度會(huì)在每一刻增加，直到它落到地面。因此，物體在任何時(shí)刻都必須有一定的速度。他不知道有什么數(shù)學(xué)方法可以充分計(jì)算出這些瞬時(shí)速度。

因此，他需要提出某種動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)系統(tǒng)來(lái)幫助解釋他的萬(wàn)有引力情況。首先，他掌握了笛卡爾求切線的方法。然后，他意識(shí)到隨著曲線的正割越來(lái)越小，斜率就變成了一個(gè)精確的點(diǎn)，我們可以在這一點(diǎn)畫(huà)一條切線。在那一刻，他發(fā)現(xiàn)了一個(gè)非凡的數(shù)學(xué)概念，瞬時(shí)變化率，這就是我們今天看到的微分學(xué)。

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當(dāng)他發(fā)現(xiàn)自己最癡迷的東西時(shí)，他很高興。他感到一陣自由。然而，有一天，天文學(xué)家埃德蒙·哈雷坐在椅子上喝著茶，特別問(wèn)牛頓太陽(yáng)是如何在不可見(jiàn)的情況下控制行星的。他花了好幾年的時(shí)間來(lái)回答這個(gè)問(wèn)題，但當(dāng)他終于能夠解釋時(shí)，他第一次明確指出，引力是所有行星圍繞太陽(yáng)運(yùn)行的力量。在那一刻，他完全理解了開(kāi)普勒。

幸運(yùn)的是，他在1687年出版的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》一書(shū)中把自己的筆記結(jié)合了起來(lái)。通過(guò)這本書(shū)，他將笛卡爾、伽利略、開(kāi)普勒和哥白尼的工作統(tǒng)一為一個(gè)數(shù)學(xué)上的健全體系。這是自亞里士多德以來(lái)，歐洲的自然哲學(xué)家第一次有了一個(gè)單一的系統(tǒng)來(lái)理解事物是什么和怎樣的。然而，要完全理解《原理》幾乎是不可能的，因?yàn)閿?shù)學(xué)太深?yuàn)W了。他必須從幾何學(xué)的角度來(lái)討論微積分，因?yàn)橐郧皼](méi)有人聽(tīng)說(shuō)過(guò)微積分!他稱自己的發(fā)現(xiàn)為“運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)”。在接下來(lái)的三個(gè)世紀(jì)里，他的書(shū)將主導(dǎo)科學(xué)界對(duì)宇宙的看法。

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• 牛頓的《自然哲學(xué)原理》第一版的個(gè)人副本在劍橋大學(xué)圖書(shū)館展出。

你可以看出，牛頓發(fā)展了一個(gè)新的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)系統(tǒng)，微積分，以擁有他需要的工具來(lái)解決和解釋物理問(wèn)題。顯然，微積分是隨著代數(shù)的不足而出現(xiàn)的。在接下來(lái)的過(guò)程中，將會(huì)使用代數(shù)方法來(lái)求解事件的微分方程，從而得到快速發(fā)展。

萊布尼茨獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了微積分，今天，我們使用他的微積分。萊布尼茨的微積分方法是從形而上學(xué)的角度出發(fā)的，這就是為什么萊布尼茨的微積分是一個(gè)推理系統(tǒng)。他主要研究當(dāng)代數(shù)學(xué)問(wèn)題。當(dāng)他發(fā)現(xiàn)無(wú)限個(gè)矩形的和的概念時(shí)，他頓悟了。他的感覺(jué)是，他剛剛發(fā)現(xiàn)了形成一個(gè)全新的數(shù)學(xué)體系的潛力，這個(gè)體系將來(lái)會(huì)被稱為微積分。

1684年，萊布尼茨獨(dú)立于艾薩克·牛頓發(fā)表了他的著作。數(shù)學(xué)家們能夠很快理解微分和積分的概念，因?yàn)樗€發(fā)明了一個(gè)強(qiáng)大而靈活的符號(hào)。萊布尼茨在歷史上第一次用“積分的概念”來(lái)求函數(shù)曲線下的面積。在此過(guò)程中，他做了必要的記號(hào)，包括微分的“d”和積分的“l(fā)ong S - summa”。這就是為什么我們今天仍然使用萊布尼茲符號(hào)。

此外，萊布尼茨對(duì)“變化的概念”的描述與牛頓非常不同。對(duì)于萊布尼茨來(lái)說(shuō)，變化是在一個(gè)稱為無(wú)窮小的無(wú)限接近值序列范圍內(nèi)的差異。無(wú)窮小就是那些小的量，比如那些小矩形，沒(méi)有任何方法可以測(cè)量它們。后來(lái)，數(shù)學(xué)家們把它描述為極限。

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• 極限的定義

希臘數(shù)學(xué)家考慮的是無(wú)窮和極限。哲人芝諾曾說(shuō)過(guò)，如果一個(gè)人要接近一堵墻的一半，他就不可能朝墻走去，也不可能碰到它。首先，它們要穿過(guò)半個(gè)房間，然后是半個(gè)房間，然后是半個(gè)房間，以此類推。因?yàn)檫@個(gè)剩余的距離可以被無(wú)限次分成兩半，它們永遠(yuǎn)到不了那堵墻。

科學(xué)家和哲學(xué)家每周進(jìn)行討論，并從一開(kāi)始就贊成牛頓，從而對(duì)牛頓和萊布尼茲的案子進(jìn)行了不公平的辯論。牛頓是皇家學(xué)會(huì)的主席，但從來(lái)沒(méi)有給萊布尼茲一個(gè)捍衛(wèi)自己的機(jī)會(huì)。最終，牛頓被認(rèn)為是第一個(gè)發(fā)現(xiàn)者。直到去世，萊布尼茲一直在努力證明自己是在沒(méi)有查閱牛頓筆記的情況下發(fā)明微積分的。他從來(lái)沒(méi)有真正得到過(guò)應(yīng)得的榮譽(yù)，因此，萊布尼茲的英文著作仍然沒(méi)有完整版！

我希望牛頓，這個(gè)已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了萬(wàn)有引力定律的人，能表現(xiàn)出善意，把微積分留給萊布尼茨，但他沒(méi)有！



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